Question

如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，且A（0，-2），AB=4，连接AC，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点．点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P运动到OC上时，设点P的移动时间为t秒，当PQ⊥AC时，求t的值；
（3）当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入抛物线解析式求出即可；
（2）Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；
（3）当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H₁重合，此时有∠H₁OQ=∠POQ，显然若做点H₁关于OQ的对称点H₂，那么亦可得到∠H₂OQ=∠POQ，而题干要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H₁点以下、H₂点以上的H点都是符合要求的．

解答：解：（1）∵矩形OABC的两边在坐标轴上，且A（0，-2），AB=4，
∴B点坐标为：（4，-2），
∴将A，B两点代入y=x²+bx+c得：

c=-2 16+4b+c=-2

，
解得：

b=-4 c=-2

，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x-2；

（2）由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为7（t-1）=7t-7．
当Q点在OA上时，即0≤7t-7＜2，1≤t＜

9

7

时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．
∴

QA

AB

=

AP

BC

，即

7t-7

4

=

t

2

，
∴t=

7

5

．
∵

7

5

＞

9

7

，
∴此时t值不合题意．
当Q点在OC上时，即2≤7t-7＜6，

9

7

≤t＜

13

7

时，
如图2，过Q点作QD⊥AB．
∴AD=OQ=7（t-1）-2=7t-9．
∴DP=t-（7t-9）=9-6t．
若PQ⊥AC，易证Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴

QD

AB

=

DP

BC

，即

2

4

=

9-6t

2

，
∴t=

4

3

，
∵

9

7

＜

4

3

＜

13

7

，
∴t=

4

3

符合题意．
当Q点在BC上时，即6≤7t-7≤8，

13

7

≤t≤

15

7

时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°．
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直．
综上所述，当t=

4

3

时，有PQ⊥AC．

（3）当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，
∴

4-t

4

=

8-7(t-1)

2

，
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，-2），Q（4，-1）．
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H₁为对称轴与OP的交点时，
有∠H₁OQ=∠POQ，
∴当y_H＜-2时，∠HOQ＞∠POQ．
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，
过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．
∴OQ=

17

，
∵S_△OPQ=S_{四边形ABCO}-S_△AOP-S_△COQ-S_△QBP=3=

1

2

OQ×PM，
∴PM=

6 17

17

，
∴PP′=2PM=

12 17

17

，
∵∠NPP′=∠COQ．
∴△COQ∽△NPP′
∴

CQ

OQ

=

P′N

PP′

，
∴P′N=

12

17

，PN=

48

17

，
∴P′（

46

17

，

14

17

），
∴直线OP′的解析式为y=

7

23

x，
∴OP′与NP的交点H₂（2，

14

23

）．
∴当y_H＞

14

23

时，∠HOP＞∠POQ．
综上所述，当y_H＜-2或y_H＞

14

23

时，∠HOQ＞∠POQ．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及函数的动点问题是较难的函数综合题，在解题时要寻找出关键点，然后正确的进行分段讨论，做到不重复、不漏解．