Question

18．如图，直线l₁的函数表达式为y₁=-3x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂：y₂=kx+b经过点A，B，与直线l₁交于点C．
（1）求直线l₂的函数表达式及C点坐标；
（2）求△ADC的面积；
（3）当x满足何值时，y₁＞y₂；（直接写出结果）
（4）在直角坐标系中有点E，和A，C，D构成平行四边形，请直接写出E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出直线l₂的解析式，利用二元一次方程组求出两条直线的交点C的坐标；
（2）根据坐标与图形图中求出点D的坐标，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）运用数形结合思想解答；
（4）分以AC为对角线、以AD为对角线、以CD为对角线三种情况，根据平行四边形的性质解答即可．

解答 解：（1）∵点A（4，0）、B（3，-$\frac{3}{2}$）在直线l₂：y₂=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$．
∴直线l₂的解析式为y₂=$\frac{3}{2}$x-6；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=\frac{3}{2}x-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$．
∴点C的坐标为（2，-3）；
（2）∵点D是直线l₁：y=-3x+3与x轴的交点，
∴y=0时，0=-3x+3，解得x=1，
∴D（1，0），
∵A（4，0），
∴AD=4-1=3，
∴△ADC的面积=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$；
（3）由图象可知，当x＜2时，y₁＞y₂；
（4）符合条件的E点的坐标为E₁（5，-3）、E₂（3，3）、E₃（-1，-3），
①以AC为对角线时，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴CE∥DA，CE=DA=3，
∴将点C（2，-3）向右平移3个单位得到点E，即E₁（5，-3）；
②以AD为对角线时，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴CE与AD互相平分，即CE与AD的中点重合，则E₂（3，3）；
③以CD为对角线时，
∵四边形ADEC是平行四边形，
∴CE∥AD，CE=AD=3，
∴将点C（2，-3）向左平移3个单位得到点E，即E₃（-1，-3）；
综上所述，符合条件的E点的坐标为E₁（5，-3）、E₂（3，3）、E₃（-1，-3）．

点评 本题考查的是一次函数知识的综合运用、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定和性质以及图象法求不等式的解集，灵活运用待定系数法求函数解析式、利用方程组求两条直线的交点坐标是解题的关键．