Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标为（-3，4），反比例函数y=

k

x

（k≠O）与AB、BC交于E、F两点，将∠B沿着EF翻折，B点恰好落在AC上的B′处，则反比例函数的解析式为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：首先求得直线AC的解析式．设B′（x、

4

3

x+4）．作出折叠后的草图，根据反比例函数解析式表示出点E、F的坐标，过点B′作B′H⊥BC于点H，B′G⊥AB于点G，可得△GEB′∽△HFB′，根据相似三角形的对应边成比例列式整理，求得点B′的坐标，然后在直角△GEB′中由勾股定理来求k的值．

解答：解：如图，∵在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标为（-3，4），
∴A（-3，0），C（0，4）．
易求直线AC为：y=

4

3

x+4．
故设B′（x，

4

3

x+4）．
∵点E、F在双曲线y=

k

x

（k≠O）上，
∴设E（-3，-

k

3

），F（

k

4

，4）．
根据折叠的性质知△EBF≌△EB′F，则BF=B′F，BE=B′E，∠EBF=∠EB′F=90°．
如图，过点B′作B′H⊥BC于点H，B′G⊥AB于点G，则∠EB′G=∠FB′H，∠EGB′=∠FHB′，
∴GEB′∽△HFB′，
∴

GB′

HB′

=

EB′

FB′

，即

|-3-x|

|4- 4 3 x-4|

=

4+ k 3

3+ k 4

，
整理得-

9+3x

4x

=

4

3

，
解得 x=-

27

25

．
则B′（-

27

25

，

64

25

）．
∴GE=

64

25

+

k

3

，B′G=3-

27

25

=

48

25

．
∴在直角△GEB′中，由勾股定理，得
B′E²=GE²+B′G²，即（4+

k

3

）²=（

64

25

+

k

3

）²+（

48

25

）²，
解得 k=-6．
∴反比例函数的解析式为 y=-

6

x

．
故答案是：y=-

6

x

．

点评：本题综合考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质应用以及反比例函数综合题．此题的难度较大，希望同学们在解题时要开动脑筋，从多方位全面的考虑问题．