Question

10．如图，抛物线y=ax（x-6）（a＜0）与x轴交于O，A两点，点B在抛物线上，且点B在第一象限内，它的横纵坐标相等，P是线段OA上的一动点，作PC⊥x轴交抛物线于点C，作PD⊥AB交直线AB于点D，连结OC
（1）当a=-$\frac{1}{2}$时，求AB的长；
（2）在（1）的条件下，若△OCP与△APD相似，求点C的坐标；
（3）当点P与点O重合，若PD=4BD，则a=-$\frac{4}{15}$或-$\frac{4}{9}$（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）如图1，把a=-$\frac{1}{2}$代入到抛物线的解析式中，得y=-$\frac{1}{2}$x（x-6）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+3x，分别计算A、B两点的坐标，作垂线段BG，利用勾股定理求AB的长即可；
（2）过B作BG⊥x轴于G，设P（x，0），则C（x，-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+3x），因为△OCP与△APD都是直角三角形，所以直角顶点一定对应，要分两种情况讨论：①当△OCP∽△PAD时，如图2，②当△OCP∽△APD时，如图3，借助直角△ABG利用同角的三角函数列式可求x的值，计算C的坐标；
（3）如图3，设B（x，x），先根据点B的横纵坐标相等代入解析式中求得：B（6+$\frac{1}{a}$，6+$\frac{1}{a}$），根据BD：PD：PB=1：4：$\sqrt{17}$，得BD=$\frac{\sqrt{2}}{17}（6+\frac{1}{a}）$，PD=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$（6+$\frac{1}{a}$），再利用等角的三角函数列式得：cos∠DOA=cos∠GBA=$\frac{PD}{OA}=\frac{BG}{AB}$，求出AB的长，最后利用勾股定理求a的值．

解答 解：（1）如图1，当a=-$\frac{1}{2}$时，抛物线为y=-$\frac{1}{2}$x（x-6）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+3x，
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x（x-6）=0，
解得：x₁=0，x₂=6，
∴A（6，0），
当x=y时，x=-$\frac{1}{2}$x（x-6），
解得：x₁=0（舍），x₂=4，
∴B（4，4），
过B作BG⊥x轴于G，则BG=4，AG=6-4=2，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（2）过B作BG⊥x轴于G，
设P（x，0），则C（x，-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+3x）
分两种情况：
①当△OCP∽△PAD时，如图2，
∴∠COP=∠APD，
∵∠APD+∠OAB=∠OAB+∠ABG，
∴∠APD=∠ABG，
∴∠COP=∠ABG，
tan∠COP=tan∠ABG=$\frac{PC}{OP}=\frac{AG}{BG}$，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x}{x}=\frac{2}{4}$，
x²-5x=0，
x₁=0（舍），x₂=5，
当x=5时，-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+3x=-$\frac{1}{2}$×25+3×5=2.5，
∴C（5，2.5）；
②当△OCP∽△APD时，如图3，
∴∠OCP=∠APD，
∴∠OCP=∠ABG，
tan∠OCP=tan∠ABG=$\frac{OP}{PC}=\frac{AG}{BG}$，
∴$\frac{x}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
解得：x₁=0（舍），x₂=2，
当x=2时，-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+3x=-$\frac{1}{2}$×4+3×2=4，
∴C（2，4），
综上所述，若△OCP与△APD相似，点C的坐标为（5，2.5）或（2，4）；

（3）如图3，由题意得：A（6，0），P（0，0），$\frac{PD}{BD}$=4，
设B（x，x），
则x=ax²-6ax，
解得：x₁=0（舍），x₂=6+$\frac{1}{a}$，
∴B（6+$\frac{1}{a}$，6+$\frac{1}{a}$），
过B作BG⊥x轴于G，连接OB，
∵BG=OG=6+$\frac{1}{a}$，
∴OB=$\sqrt{2}$（6+$\frac{1}{a}$），
∵BD：PD：PB=1：4：$\sqrt{17}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{17}（6+\frac{1}{a}）$，PD=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$（6+$\frac{1}{a}$），
∴AG=6-OG=-$\frac{1}{a}$，
∵∠DOA=∠GBA，
∴cos∠DOA=cos∠GBA=$\frac{PD}{OA}=\frac{BG}{AB}$，
∴AB=$\frac{OA•BG}{PD}$=$\frac{6（6+\frac{1}{a}）}{\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}（6+\frac{1}{a}）}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{4}$，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：AB²=BG²+AG²，
∴$（\frac{3\sqrt{34}}{4}）^{2}=（6+\frac{1}{a}）^{2}+（-\frac{1}{a}）^{2}$，

$\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{96}{a}+135$=0，
（$\frac{4}{a}$+9）（$\frac{4}{a}$+15）=0，
a₁=-$\frac{4}{15}$，a₂=-$\frac{4}{9}$；
综上所述，a的值为-$\frac{4}{15}$或-$\frac{4}{9}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用二次函数的性质、与坐标轴的交点问题、勾股定理、三角函数、解一元二次方程以及三角形相似的性质和判定，注意两三角形相似位置关系不确定的情况下，要分情况进行讨论，同时1、2问附加了a的值进行的计算，第三问不能运用，这是一个易错的地方，要仔细审题．