如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)如果∠BDE= 60°,OD=,求PO的长.
(1)证明见解析;(2)PA=1,过程见解析.
【解析】
试题分析:(1)要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可,要证是直线PD是为⊙O的切线,需证∠PDO=90°,因为AB为直径,所以∠ADO+∠ODB=90°,由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°,即∠PDO=90°;(2)根据已知可证△AOD为等边三角形,∠P=30°,在Rt△POD中运用三角函数可求解.
试题解析:(1)PD是⊙O的切线.理由如下:
∵AB为直径,
∴∠ADO+∠ODB=90°,
∵∠PDA=∠PBD=∠ODB,
∴∠ODA+∠PDA=90°,即∠PDO=90°,
∴PD是⊙O的切线;,
(2)∵∠BDE=60°,∠ADB=90°,
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°,
又PD为半圆的切线,所以∠PDO=90°,
∴∠ADO=60°,又OA=OD,
∴△ADO为等边三角形,∠AOD=60°.
在Rt△POD中,PD=,
∴OD=1,OP=2,
PA=PO-OA=2-1=1.
考点:切线的判定.
科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:新课标教材导学 数学九年级(第一学期) 题型:068
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科目:初中数学 来源:初中数学解题思路与方法 题型:047
已知如图,AB是半圆直经,△ACD内接于半⊙O,CE⊥AB于E,延长AD交EC的延长线于F,求证:AC·CD=AD·FC.
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