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如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.

(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;

(2)如果∠BDE= 60°,OD=,求PO的长.

 

【答案】

(1)证明见解析;(2)PA=1,过程见解析.

【解析】

试题分析:(1)要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可,要证是直线PD是为⊙O的切线,需证∠PDO=90°,因为AB为直径,所以∠ADO+∠ODB=90°,由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°,即∠PDO=90°;(2)根据已知可证△AOD为等边三角形,∠P=30°,在Rt△POD中运用三角函数可求解.

试题解析:(1)PD是⊙O的切线.理由如下:

∵AB为直径,

∴∠ADO+∠ODB=90°,

∵∠PDA=∠PBD=∠ODB,

∴∠ODA+∠PDA=90°,即∠PDO=90°,

∴PD是⊙O的切线;,

(2)∵∠BDE=60°,∠ADB=90°,

∴∠PDA=180°-90°-60°=30°,

又PD为半圆的切线,所以∠PDO=90°,

∴∠ADO=60°,又OA=OD,

∴△ADO为等边三角形,∠AOD=60°.

在Rt△POD中,PD=

∴OD=1,OP=2,

PA=PO-OA=2-1=1.

考点:切线的判定.

 

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