Question

11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，即可得出矩形ABCD的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\\{OE=OF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE=CF；
（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6$\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．