Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx-4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（-1，0）两点，过点A的直线y=-x+4交抛物线于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；
（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（-1，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-4=0}\\{a-b-4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-3x-4，
（2）如图1，
作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，
由（1）得，抛物线解析式为y=x²-3x-4①，
∴D（0，-4），
∵点C是直线y=-x+4②与抛物线的交点，
∴联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴C（-2，6），
∵A（4，0），
∴直线AC解析式为y=-x+4，
∵直线BF⊥AC，且B（-1，0），
∴直线BF解析式为y=x+1，
设点F（m，m+1），
∴G（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{m+1}{2}$），
∵点G在直线AC上，
∴-$\frac{m-1}{2}+4=\frac{m+1}{2}$，
∴m=4，
∴F（4，5），
∵D（0，-4），
∴直线DF解析式为y=$\frac{9}{4}$x-4，
∵直线AC解析式为y=-x+4，
∴直线DF和直线AC的交点E（$\frac{32}{13}$，$\frac{20}{13}$），
（3）∵BD=$\sqrt{17}$，
由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$＜BD，
∵B（-1，0），D（0，-4），
∴直线BD解析式为y=-4x+4，
∵△BDE为直角三角形，
∴①∠DBE=90°，
∴BE⊥BD交AC于E，
∴直线BE解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{4}$，
∵点E在直线AC：y=-x+4的图象上，
∴E（3，1），
②∠BDE=90°，
∴DE⊥BD交抛物线于E，
∴直线DE的解析式为y=$\frac{1}{4}$x-4，
∵点E在抛物线y=x²-3x-4上，
∴直线DE与抛物线的交点为（0，-4）和（$\frac{13}{4}$，-$\frac{51}{16}$），
∴E（$\frac{13}{4}$，-$\frac{51}{16}$），
即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（$\frac{13}{4}$，-$\frac{51}{16}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的关键是求函数图象的交点坐标．