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2.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,在CB的延长线上取一点D,连接AD,过点A作AE⊥AD,过点C作CE⊥CB,AE与CE交于点E,连接BE,延长△ADC的中线AF交BE于点G.
求证:AG⊥BE.

分析 如图作AH⊥CD于H.首先证明△DAB≌△EAC,推出BD=EC,由FC=FH+CH=$\frac{BD}{2}$+CH,推出BD=2FH,推出EC=2FH,由$\frac{FG}{EC}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{1}{2}$,∠AHF=∠BCE,推出△AFH∽△BEC,推出∠FBH=∠FAH,由∠BFG=∠AFH,可得∠BGF=∠AHF=90°.

解答 证明:如图作AH⊥CD于H.

∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵CE⊥CD,
∴∠DCE=90°,
∴∠ABD=∠ACE=135°,
∵∠DAE=∠BAC=90°,
∴∠DAB=∠EAC,
∵AB=AC,
∴△DAB≌△EAC,
∴BD=EC,
∵FC=FH+CH=$\frac{BD}{2}$+CH,
∴BD=2FH,
∴EC=2FH,∵BC=2AH,
∴$\frac{FG}{EC}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{1}{2}$,∵∠AHF=∠BCE,
∴△AFH∽△BEC,
∴∠FBH=∠FAH,
∵∠BFG=∠AFH,
∴∠BGF=∠AHF=90°,
∴AG⊥BE.

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题.

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