练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=4，点D与点A关于y轴对称，cos∠ACB=
    35
    ，点E，F分别是线段DA，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
    （1）求证：△AEF与△DCE相似；
    （2）设DE=x，y=CF，求y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围．
    （3）当DE的长为多少时，CF长最小，最小值为多少？并求此时△CED的内切圆的圆心G的坐标．
    分析：（1）先由轴对称的性质得出AC=CD，则∠2=∠3，再根据三角形外角的性质、矩形的性质得出∠1=∠DCE，从而根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△AEF与△DCE相似；
    （2）先解直角△ABC，求出BC=3，AC=5，再由△AEF∽△DCE，根据相似三角形对应边的比相等得出
    AF
    DE
    =
    AE
    DC
    ，进而得到y关于x的函数解析式，并由点E满足的条件即可求出自变量x的取值范围；
    （3）先利用配方法将y=
    1
    5
    x2-
    6
    5
    x+5写成y=
    1
    5
    （x-3）2+
    16
    5
    ，求出DE为3时，CF有最小值
    16
    5
    ，此时，点E与点O重合，设⊙G切△DCE三边于M、N、P，设EN=EM=半径r，根据切线长定理得出CP=CN=4-r，DP=DM=3-r，再由CP+DP=CD，求出r=1，从而得到点G的坐标是（-1，1）．
    解答：（1）证明∵四边形ABCO为矩形，
    ∴OA∥BC，
    ∴∠2=∠4．
    ∵点D与点A关于y轴对称，
    ∴AC=CD，
    ∴∠2=∠3，
    ∴∠4=∠3．
    ∵∠1+∠5=∠3+∠DCE，∠5=∠4=∠3，
    ∴∠1=∠DCE．
    在△AEF与△DCE中，
    ∠2=∠3
    ∠1=∠DCE
    ，
    ∴△AEF∽△DCE；

    （2）解：∵AB=4，cos∠ACB=
    3
    5
    ，
    ∴BC=3，AC=5，
    又∵△AEF∽△DCE，
    ∴
    AF
    DE
    =
    AE
    DC
    ，
    ∴
    5-y
    x
    =
    6-x
    5
    ，
    解得y=
    1
    5
    x2-
    6
    5
    x+5．
    ∵点E是线段DA上的动点，点E不与点A、D重合，且DE=x，AD=6，
    ∴0＜x＜6．
    故y=
    1
    5
    x2-
    6
    5
    x+5（0＜x＜6）；

    （3）解：∵y=
    1
    5
    x2-
    6
    5
    x+5=
    1
    5
    （x2-6x）+5=
    1
    5
    （x-3）2+
    16
    5
    ，
    ∴当x=3时，y有最小值
    16
    5
    ，
    即当DE的长为3时，CF长最小，最小值为
    16
    5
    ；
    此时，点E与点O重合，设⊙G切△DCE三边于M、N、P，如图．
    设EN=EM=半径r，则CP=CN=4-r，DP=DM=3-r，
    ∵CP+DP=CD，
    ∴4-r+3-r=5，
    ∴r=1，
    ∴点G的坐标是（-1，1）．
    点评：本题考查了矩形、轴对称、三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．根据三角形外角的性质、矩形的性质得出∠1=∠DCE，进而证明△AEF∽△DCE是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案