Question

17．如图1，边长为2的正方形ABCD中，点P在AB边上（不与点A、B重合），点Q在BC边上（不与点B、C重合）
第一次操作：将线段PQ绕点Q顺时针旋转，当点P落在正方形上时，记为点M；
第二次操作：将线段QM绕点M顺时针旋转，当点Q落在正方形上时，记为点N；
依次操作下去…
（1）如图2，经过两次操作后得到△PQD、△PQD的形状为等边三角形，求此时线段PQ的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形PQMN．
①请直接判断四边形PQMN的形状，直接写出此时此刻AP与BQ的数量关系；
②以①中的结论为前提，直接写出四边形PQMN的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据HL证明Rt△ADP≌Rt△CDQ，得AP=CQ，所以△BPQ是等腰直角三角形，设BP的长为x，则PQ=$\sqrt{2}$x，根据勾股定理列方程，解方程即可得PQ的长；
（2）①由旋转性质可知，PQ=QM=MN=NP，求出四边形PQMN是菱形，再证出∠QPN=90°，得出四边形PQMN是正方形；由AAS证明△APN≌△BQP，得出AP=BQ即可．
②利用①中结论得：△APN、△BQP、△CMQ、△DNM均为全等三角形，得出BQ=CM=DN=AP=x，AN=BP=CQ=DM=2-x．四边形PQMN的面积S=S_{正方形ABCD}-4S_△APN=2x²-4x+4，由二次函数的性质即可得出答案．

解答 解：（1）由旋转得：DP=PQ=DQ，
∴△PQD的形状为等边三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠A=∠B=∠C=90°，
∵DP=DQ，
∴Rt△ADP≌Rt△CDQ，
∴AP=CQ，
∴BP=BQ，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
设BP的长为x，则PQ=$\sqrt{2}$x，
∴AP=2-x，
∵在Rt△ADP中，DP²=AD²+AP²，DP=PQ，
∴（$\sqrt{2}$x）²=2²+（2-x）²，
∴x²+4x-8=0，
解得：x₁=-2+2$\sqrt{3}$，x₂=-2-2$\sqrt{3}$（不合题意，舍去），
∵PQ=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$（-2+2$\sqrt{3}$）=-2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$；
故答案为：等边三角形；
（2）①四边形PQMN的形状为正方形，此时AP=BQ．理由如下：
如图所示：
由旋转性质可知，PQ=QM=MN=NP，
∴四边形PQMN是菱形，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠QPN=90°，∠2=∠4．
∴四边形PQMN是正方形；
在△APN和△BQP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠4}&{\;}\\{∠A=∠B}&{\;}\\{NP=PQ}&{\;}\end{array}\right.$
∴△APN≌△BQP（AAS）
∴AP=BQ．
②利用①中结论得：△APN、△BQP、△CMQ、△DNM均为全等三角形，
∴BQ=CM=DN=AP=x，AN=BP=CQ=DM=2-x．
∴四边形PQMN的面积S=S_{正方形ABCD}-4S_△APN=2×2-4×$\frac{1}{2}$x（2-x）=2x²-4x+4，
∴S=2x²-4x+4（0＜x＜2），
∵y=2（x-1）²+2，
∴当x=1时，S有最小值2；
当x=0时，S=4，
∴四边形PQMN的面积S取值范围是2≤S＜4．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．