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6.如图,等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB,AC=BC,DE=BD,∠ACB=∠EDB=90°,P为AE的中点
(1)连接PC、PD,则PC、PD的位置关系是PC⊥PD,数量关系是PC=PD,并证明你的结论;
(2)当E在线段AB上变化时,其它条件不变,作EF⊥BC于F,连接PF,试判断△PCF的形状;
(3)在点E运动过程中,△PCF是否可为等边三角形?若可以,试求△ACB与△EDB的两直角边之比.

分析 (1)作EF⊥BC于F,连接PF,作PH⊥BC于H,证明△PEF≌△PED,得到PF=PD,∠EPF=∠EPD,根据梯形中位线定理、垂直平分线的性质得到PC=PF,证明结论;
(2)作PH⊥BC于H,根据梯形中位线定理证明;
(3)设EF=BF=x,HF=y,根据等边三角形的性质得到PH=$\sqrt{3}$y,证明△BEF∽△BPH,根据相似三角形的性质计算即可.

解答 解:(1)PC⊥PD,PC=PD,
证明:作EF⊥BC于F,连接PF,作PH⊥BC于H,
则四边形EFBD是正方形,
在△PEF和△PED中,
$\left\{\begin{array}{l}{PF=PD}\\{∠PEF=∠PED}\\{PE=PE}\end{array}\right.$,
∴△PEF≌△PED,
∴PF=PD,∠EPF=∠EPD,
∵AC∥PH∥EF,P为AE的中点,
∴CH=HF,又PH⊥BC,
∴PC=PF,∠CPH=∠FPH,
∴PC=PD,∠CPD=2×45°=90°,
故答案为:PC⊥PD;PC=PD;
(2)作PH⊥BC于H,
则AC∥PH∥EF,P为AE的中点,
∴CH=HF,又PH⊥BC,
∴PC=PF,
∴△PCF为等腰三角形;
(3)设EF=BF=x,HF=y,
∵△PCF是等边三角形,
∴PH=$\sqrt{3}$y,
∵PH∥EF,
∴△BEF∽△BPH,
∴$\frac{EF}{PH}$=$\frac{BF}{BH}$,即$\frac{x}{\sqrt{3}y}$=$\frac{x}{x+y}$,
解得,y=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$x,
∵PH是梯形ACFE的中位线,
∴AC=($\sqrt{3}$+2)x,
则△ACB与△EDB的两直角边之比为$\sqrt{3}$+2.

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的判定和性质,掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键.

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