Question

如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）求四边形CEFB的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S_△EFA=S_△BAF=S_△ABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；
（2）由已知可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直；
（3）作BD⊥AC于D，结合三角形的面积求解．

解答：解：（1）由平移的性质得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四边形AFBC为平行四边形
S_△EFA=S_△BAF=S_△ABC=3
∴四边形EFBC的面积为9；

（2）BE⊥AF
证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形
∴BF∥AC，且BF=AC
又∵AE=CA
∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC
∴AB=AE
∴平行四边形EFBA为菱形
∴BE⊥AF；

（3）如上图，作BD⊥AC于D
∵∠BEC=15°，AE=AB
∴∠EBA=∠BEC=15°
∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴在Rt△BAD中，AB=2BD
设BD=x，则AC=AB=2x
∵S_△ABC=3，且S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

•2x•x=x²
∴x²=3
∵x为正数
∴x=

3

∴AC=2

3

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．