Question

12．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交点为A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①求抛物线的解析式及C点的坐标；
②若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC，求点P的坐标；
③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称性结合抛物线的对称轴以及点A的坐标，即可得出点B的坐标，
（2）①结合a=1，抛物线的对称轴以及点B的坐标即可得出关于a、b、c的方程组，解方程组即可得出a、b、c的值，从而得出抛物线的解析式，再令x=0求出y值即可得出点C的坐标；
②根据三角形的面积公式结合S_△POC=4S_△BOC，即可得出点P的横坐标，代入抛物线解析式中即可得出点P的坐标；
③根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设出点Q的坐标，即可找出点D的坐标，从而找出线段DQ关于t的函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交点为A、B两点，抛物线的对称轴为x=-1，且点A的坐标为（-3，0），
∴点B的坐标为（-3+2×[-1-（-3）]，0），即（1，0）．
（2）①由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3．
令y=x²+2x-3中x=0，则y=-3，
∴C点的坐标为（0，-3）．
②当△POC的OC边上的高为4时满足S_△POC=4S_△BOC，
此时x=±4，
当x=4时，y=4²+2×4-3=21；
当x=-4时，y=（-4）²+2×（-4）-3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）．
③依照题意，画出图形，如图所示．
设直线AC的解析式为y=mx+n，
将点A（-3，0）、C（0，-3）代入y=mx+n中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-3m+n}\\{-3=n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-3．
设点Q的坐标为（t，-t-3）（-3＜t＜0），则D（t，t²+2t-3），
则DQ=（-t-3）-（t²+2t-3）=-t²-3t=-$（x+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，线段DQ长度最大，最大值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据抛物线的对称性求出点B的坐标；（2）①利用待定系数法结合a=1求出二次函数解析式；②根据两三角形的面积间的关系找出点P的横坐标；③根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．