Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+2交坐标轴于A、B两点，直线AC⊥AB交x轴于点C，抛物线恰好过点A、B、C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当点M在线段AB上方的曲线上移动时，求四边形AOBM的面积的最大值；

（3）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，是否存在点F使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出点F坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当a＝2时，S四边形AOBM的面积最大，为8；（3）存在．

【解析】

（1）由直线y＝﹣x+2易确定A、B两点坐标，又由AC⊥AB则易证明△ACO∽△BOC，利用相似比可确定C点坐标，再利用待定系数法直接求解即可．

（2）用待定系数法设出M点坐标和D点坐标，已表示出MD的长度为﹣a2+4a，再利用割补法表示△AMB的面积，将得到的表达式转化为二次函数顶点式求解即可．

（3）利用平行四边形的性质分别作AC∥EF，AE∥CF两种情况的图形使E在抛物线对称轴上，F在抛物线上，利用待定系数法及图形的性质求解即可．

解：（1）∵直线y＝﹣x+2交x轴于A、B两点

∴A（0，2）、B（4，0）

由AC⊥AB得，△AOC∽△BOA．

∴．

∴OC＝1．

又∵C在x轴负半轴上

∴C（﹣1，0）．

设抛物线解析式y＝ax2+bx+c．

把A（0，2），B（4，0），C（﹣1，0）代入上式得，

，解得，

∴抛物线解析式为，y＝．

（2）如图1，

过点M作MN⊥x轴，交直线AB与点D．

设M点横坐标为a，则M（a， ），D（a，）

∴MD＝﹣（）＝

∴S△ABM＝MDBO＝（﹣a2+2a）4＝﹣a2+4a

∴S四边形AOBM＝﹣a2+4a+×2×4＝﹣（a﹣2）2+8

故当a＝2时，S四边形AOBM的面积最大，为8．

（3）存在．

如图2﹣1，

当AC∥EF，F在对称轴左侧时，可以看作把△AOC沿水平向右平移至OA与对称轴重合时，再将其向上平移，恰好使点A与点E重合，点C与点F重合．

此时四边形ACFE为平行四边形．

∴FD＝OC＝1．

∴点F的横坐标为，x＝．

当x＝时，y＝﹣×（）2+×+2＝．

即此时F（，）．

如图2﹣2，

当AC∥EF，F在对称轴右侧时，把△EFG绕点G旋转180°恰好与抛物线相交于F，则四边形ACEF为平行四边形．

此时易得F点纵坐标为，y＝．

当y＝时，﹣x2+x+2＝0．

解得，x＝（舍去）或x＝．

此时F（，）．

如图2﹣3，

以线段AC为对角线作AECF，过A作AG垂直于对称轴直线于点G．过点F作FD⊥x轴交于点D．

∴AG＝1.5

又∵△AGE≌△CDF

∴CD＝1.5

∴D点坐标为（﹣2.5，0）

∴当x＝﹣2.5时，y＝﹣×（﹣）2+×（﹣）+2＝﹣

∴此时F（﹣，﹣）．

综上所述，满足题意的F点坐标有，（，），（，），（﹣，﹣）．