Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设BE=x，表示出CE=16-x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：设BE=x，则CE=BC-BE=16-x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE=CE=16-x，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
即8²+x²=（16-x）²，
解得x=6，
∴AE=16-6=10，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=10，
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=8，
AH=BE=6，
∴FH=AF-AH=10-6=4，
在Rt△EFH中，EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．