Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=，求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点，所以可设y=kx+b，将A、B的坐标代入，利用方程组即可求出答案；
（2）因为点C为线段AB上的一动点，CD⊥x轴于点D，所以可设点C坐标为（x，x+），那么OD=x，CD=x+，利用梯形的面积公式可列出关于x的方程，解之即可，但要注意x的取值；
（3）因为∠AOB=90°，所以以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似需分情况探讨：
当∠OBP=90°时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，P₁（3，）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1，P₂（1，）．
③过点P作OP⊥BC于点P，此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°，OP=BP，过点P作PM⊥OA于点M，∠OPM=30°，OM=OP，PM=OM，从而求得P的坐标．
④若△POB∽△OBA，则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°，所以PM=OM，P₄（，）；当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
解答：解：（1）设直线AB解析式为：y=kx+b，
把A，B的坐标代入得k=-，b=
所以直线AB的解析为：y=x+．

（2）方法一：设点C坐标为（x，x+），那么OD=x，CD=x+．
∴S_梯形OBCD==x．
由题意：x=，
解得x₁=2，x₂=4（舍去），
∴C（2，）（1分）
方法二：∵，S_梯形OBCD=，∴．
由OA=OB，得∠BAO=30°，AD=CD．
∴S_△ACD=CD×AD==．可得CD=．
∴AD=1，OD=2．∴C（2，）．

（3）当∠OBP=90°时，如图

①若△BOP∽△BAO，
则∠BOP=∠BAO=30°，BP=OB=3，
∴P₁（3，）．（2分）
②若△BPO∽△BAO，
则∠BPO=∠BAO=30°，OP=OB=1．
∴P₂（1，）．（1分）
当∠OPB=90°时
③过点P作OP⊥BA于点P（如图），
此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=OB=，
OP=BP=．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=OP=；PM=OM=．∴P₃（，）．
方法二：设P（x，x+），得OM=x，
PM=x+，
由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM==，tan∠ABO==．
∴x+=x，解得x=．此时P₃（，）．
④若△POB∽△OBA（如图），
则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30度．
∴PM=OM=．
∴P₄（，）（由对称性也可得到点P₄的坐标）．
当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综合得，符合条件的点有四个，分别是：P₁（3，），P₂（1，），P₃（，），P₄（，）．
点评：本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式和相似三角形的有关知识，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．