Question

11．已知AD是△ABC的高，点D在BC内，且BD=3，CD=1，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．

Answer 1

分析 首先根据∠AED+∠AFD=90°+90°=180°得到A，E，D，F四点共圆，然后根据圆的性质得到∠GFC=∠AFE=∠ADE=∠B，∠FDC=∠DAF=∠DEF，从而得到△GFC∽△GBE，△GFD∽△GDE，利用相似三角形的性质得到（CG+1）（CG+1）=CG•（CG+4），从而求得CG的长．

解答 解：∵∠AED+∠AFD=90°+90°=180°，
∴A，E，D，F四点共圆，
∴∠GFC=∠AFE=∠ADE=∠B，∠FDC=∠DAF=∠DEF，
∴△GFC∽△GBE，△GFD∽△GDE，
∴FG•GE=CG•GB，GF•GE=DG•DG，
∴DG•DG=CG•GB，
即（CG+1）（CG+1）=CG•（CG+4），
解得：CG=0.5．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质及四点共圆的知识，解题的关键是能够根据两个直角确定四点共圆，难点中等偏上．