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(本题满分10分)

如图1,△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC,P为BC边上任意一点.

若点E、F分别在AB、AC上,且∠EPF=40°,求证:△BPE∽△CFP;

如图2,点P在边CB的延长线上,点E在边AB上,点F在边AC的延长线上,仍有∠EPF=40°,探索PB·PC与BE·CF有怎样的关系?并说明理由.

(1)证明见解析;

(2)PB·PC=BE·CF,理由见解析.

【解析】

试题分析:(1)由已知条件可得∠B=∠C=40°,由∠EPC=∠B+∠BEP,得∠EPF+∠FPC=∠B+∠BEP,而∠EPF=∠B=40°,从而可得∠FPC=∠BEP,从而得到△BPE∽△CFP;

(2)同(1)的道理类似,可得△BPE∽△CFP,从而可得,即PB·PC=BE·CF.

试题解析:(1)∵△ABC中,∠BAC=100°,AB=AC,∴∠B=∠C=40°,∵∠EPC=∠B+∠BEP,∴∠EPF+∠FPC=∠B+∠BEP,又∵∠EPF=∠B=40°,∴∠FPC=∠BEP,∴△BPE∽△CFP;

相等,理由如下:

∵∠EBC=∠EPB+∠BEP,∴∠EPF=∠EPB+∠CPF,又∵∠EPF=∠B=40°,∴∠BEP=∠CPF,∵∠ABC=∠ACB,

∴∠EBP=∠PCF,∴△BPE∽△CFP,∴,∴PB·PC=BE·CF.

考点:相似三角形的判定与性质.

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