Question

（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形

B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC

C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°

D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形

Answer 1

分析：根据直角是圆中最长的弦，可知当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，由圆周角定理得出∠BAP=90°，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出AP=CP，则△APC是等腰三角形，判断A正确；
当△APC是等腰三角形时，分三种情况：①PA=PC；②AP=AC；③CP=CA；确定点P的位置后，根据等边三角形的性质即可得出PO⊥AC，判断B正确；
当PO⊥AC时，由垂径定理得出PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；判断C错误；
当∠ACP=30°时，点P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置．如果点P在P₁的位置，易求∠BCP₁=90°，△BP₁C是直角三角形；如果点P在P₂的位置，易求∠CBP₂=90°，△BP₂C是直角三角形；判断D正确．

解答：解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP=∠CBP=

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∠ABC=30°，
∴AP=CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP=AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP=CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．
如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP=30°时，点P或者在P₁的位置，或者在P₂的位置，如图3．
如果点P在P₁的位置，∠BCP₁=∠BCA+∠ACP₁=60°+30°=90°，△BP₁C是直角三角形；
如果点P在P₂的位置，∵∠ACP₂=30°，
∴∠ABP₂=∠ACP₂=30°，
∴∠CBP₂=∠ABC+∠ABP₂=60°+30°=90°，△BP₂C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意．
故选C．

点评：本题考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，难度适中，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．