Question

【题目】在△BCF中，点D是边CF上的一点，过点D作AD∥BC，过点B作BA∥CD交AD于点A，点G是BC的中点，点E是线段AD上一点，且∠CDG＝∠ABE＝∠EBF．

（1）若∠F＝60°，∠C＝45°，BC＝2，请求出AB的长；

（2）求证：CD＝BF+DF．

Answer 1

【答案】（1）3+（2）见解析

【解析】

（1）过点E作EH⊥AB交AB于点H．分别求出AH，BH即可解决问题；

（2）连接EF，延长FE交AB与点M．想办法证明△BMF是等腰三角形即可解决问题；

解：（1）过点E作EH⊥AB交AB于点H．

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴AB＝DC，∠DAB＝∠DBC，

在△CGD和△AEB中，

，

∴△CGD≌△AEB，

∴∠DGC＝∠BEA，

∴∠DGB＝∠BED，

∵AD∥BC，

∴∠EDG+∠DGB＝180°，

∴∠EDG+∠BED＝180°

∴EB∥DG，

∴四边形BGDE为平行四边形，

∴BG＝ED，

∵G是BD的中点，

∴BG＝BC，

∴BC＝AD，ED＝BG＝AD，

∵BC＝2，

∴AE＝AD＝，

在Rt△AEH中，∵∠EAB＝45°，sin∠EAB＝sin 45°＝，

∴EH＝，

∵∠EHA＝90°，

∴△AHE为等腰直角三角形，

∴AH＝EH＝，

∵∠F＝60°，

∴∠FBA＝60°，

∵∠EBA＝∠EBF，

∴∠EBA＝30°，

在Rt△EHB中，tan∠EBH＝tan 30°＝，

∴HB＝3，

∴AB＝3+.

（2）连接EF，延长FE交AB与点M．

∵∠A＝∠EDF，AE＝DE，∠AEM＝∠DEF，

∴△AEM≌△DEF（ASA），

∴DF＝AM，ME＝EF，

又∵∠EBA＝∠EBF，

∴△MBF是等腰三角形

∴BF＝BM，

又∵AB＝AM+BM，

∴CD＝BF+DF．