【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.
(1)连接BD,求证:△ABD是等边三角形;
(2)试猜想:线段AE、AF与AD之间有怎样的数量关系?并给以证明.
【答案】(1)详见解析;(2)AE+AF=AD.证明见解析.
【解析】
(1)连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=,再由AD=AB,即可得出结论;
(2)由△ABD是等边三角形,得出BD=AD,∠ABD=∠ADB=60°,证出∠BDE=∠ADF,由ASA证明△BDE≌△ADF,得出AF=BE,即可求解.
(1)证明:连接BD,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC,
∵∠BAC=120°,
∴,
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形;
(2)猜想:AE+AF=AD,
理由如下:∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,AB=BD=AD
∵∠EDF=60°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE与△ADF中,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴AF=BE,
∴AB=BE+AE=AF+AE=AD
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【题目】再读教材:
宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)
第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步,如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处,
第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形,
问题解决:
(1)图③中AB=________(保留根号);
(2)如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;
(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
(4)结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.
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【题目】如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°,旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是12米,梯坎坡度i=1: ,则大楼AB的高度为________米.
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【题目】某校组织“大手拉小手,义卖献爱心”活动,计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售,并将所获利润全部捐给山区困难孩子.已知该学校从批发市场花4800元购买了 黑白两种颜色的文化衫200件,每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表:
批发价(元) | 零售价(元) | |
黑 色 文化衫 | 25 | 45 |
白 色 文 化 衫 | 20 | 35 |
(1)学校购进黑.白文化衫各几件?
(2)通过手绘设计后全部售出,求该校这次义卖活动所获利润.
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【题目】随着智能手机的普及,微信抢红包已成为春节期间人们最喜欢的活动之一,某校七年级(1)班班长对全班50名学生在春节期间所抢的红包金额进行统计,并绘制成了统计图.请根据以上信息回答:
(1)该班同学所抢红包金额的众数是______,
中位数是______;
(2)该班同学所抢红包的平均金额是多少元?
(3)若该校共有18个班级,平均每班50人,请你估计该校学生春节期间所抢的红包总金额为多少元?
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【题目】用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )
A.x2﹣2x﹣99=0化为(x﹣1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2﹣7t﹣4=0化为(t﹣)2=
D.3x2﹣4x﹣2=0化为(x﹣)2=
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【题目】如图,在Rt△AEB和Rt△AFC中,∠E=∠F=90°,BE=CF.BE与AC相交于点M,与CF相交于点D,AB与CF相交于点N,∠EAC=∠FAB.有下列结论:①∠B=∠C;②CD=DN;③CM=BN;④△ACN≌△ABM.其中正确结论的序号是________.
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【题目】如图,已知:在坐标平面内,等腰直角中,,,点的坐标为,点的坐标为,交轴于点.
(1)求点的坐标;
(2)求点的坐标;
(3)如图,点在轴上,当的周长最小时,求出点的坐标;
(4)在直线上有点,在轴上有点,求出的最小值.
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