Question

11．如图，矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，连接BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交AD边于点M，且使得∠ABE=∠CBP，
如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y．
（1）说明△ABM∽△APB；并求出y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；
（2）当AP=4时，求sin∠EBP的值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的定义域；
（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正弦值；
（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x-y=5-x，即y=2x-5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC-EP=BC-MP=5-y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．

解答 （1）由△ABM∽△APB，得$\frac{AB}{AP}=\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{2}{x}=\frac{x-y}{2}$，
∴y=x-$\frac{4}{x}$，
∵P是边AD上的一动点，
∴0≤x≤5，
∵y＞0，∴x-$\frac{4}{x}$＞0，
∴x＞2，
∴x的取值范围为2＜x≤5；

（2）过点M作MH⊥BP于H，如图，
∵AP=x=4，∴y=x-$\frac{4}{x}$=3，
∴MP=3，AM=1，
∴BM=$\sqrt{A{B}^{2}+A{M}^{2}}=\sqrt{5}$，BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∵S_△BMP=$\frac{1}{2}$MP•AB=$\frac{1}{2}$BP•MH，
∴MH=$\frac{MP•AB}{BP}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠EBP=$\frac{3}{5}$．

（3）①若EB=EC，则有∠EBC=∠ECB，
可证△AMB≌△DPC，∴AM=DP，∴x-y=5-x，
∴y=2x-5，∴x-$\frac{4}{x}$=2x-5，解得：x₁=1，x₂=4，
∵2＜x≤5，∴AP=x=4；
②若CE=CB，则∠EBC=∠E，
∵AD∥BC，∴∠EMP=∠EBC=∠E，∴PE=PM=y，
∴PC=EC-EP=5-y，
∴在Rt△DPC中，（5-y）²-（5-x）²=2²，∴3x²-10x-4=0，
解得：x₁=$\frac{5+\sqrt{37}}{3}$，x₂=$\frac{5-\sqrt{37}}{3}$（舍去），
∴AP=x=$\frac{5+\sqrt{37}}{3}$，
终上所述：AP的值为4或$\frac{5+\sqrt{37}}{3}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．