Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣ ，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根

（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x2﹣2x﹣3=0，

∴x=3或x=﹣1，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4，

（2）

解：∵A（﹣ ，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA= ，OB=3，OC=1，

∴OA2=OBOC，

∵∠AOC=∠BOA=90°，

∴△AOC∽△BOA，

∴∠CAO=∠ABO，

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（3）

解：设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（﹣ ，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直线AC的解析式为：y=﹣ x﹣1，

∵DB=DC，

∴点D在线段BC的垂直平分线上，

∴D的纵坐标为1，

∴把y=1代入y=﹣ x﹣1，

∴x=﹣2 ，

∴D的坐标为（﹣2 ，1），

（4）

解：设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，

把B（0，3）和D（﹣2 ，1）代入y=mx+n，

∴ ，

解得 ，

∴直线BD的解析式为：y= x+3，

令y=0代入y= x+3，

∴x=﹣3 ，

∴E（﹣3 ，0），

∴OE=3 ，

∴tan∠BEC= = ，

∴∠BEO=30°，

同理可求得：∠ABO=30°，

∴∠ABE=30°，

当PA=AB时，如图1，

此时，∠BEA=∠ABE=30°，

∴EA=AB，

∴P与E重合，

∴P的坐标为（﹣3 ，0），

当PA=PB时，如图2，

此时，∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠ABE=∠ABO=30°，

∴∠PAB=∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO=90°，

∴点P的横坐标为﹣ ，

令x=﹣ 代入y= x+3，

∴y=2，

∴P（﹣ ，2），

当PB=AB时，如图3，

∴由勾股定理可求得：AB=2 ，EB=6，

若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，

过点P1作P1F⊥x轴于点F，

∴P1B=AB=2 ，

∴EP1=6﹣2 ，

∴sin∠BEO= ，

∴FP1=3﹣ ，

令y=3﹣ 代入y= x+3，

∴x=﹣3，

∴P1（﹣3，3﹣ ），

若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，

过点P2作P2G⊥x轴于点G，

∴P2B=AB=2 ，

∴EP2=6+2 ，

∴sin∠BEO= ，

∴GP2=3+ ，

令y=3+ 代入y= x+3，

∴x=3，

∴P2（3，3+ ），

综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3 ，0），（﹣ ，2），（﹣3，3﹣ ），（3，3+ ）．

【解析】本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所知识解决．（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OCOB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．
【考点精析】掌握因式分解法和线段垂直平分线的判定是解答本题的根本，需要知道已知未知先分离，因式分解是其次．调整系数等互反，和差积套恒等式．完全平方等常数，间接配方显优势；和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．