Question

11．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AO=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC；⑤BO=OC+AO，其中正确的结论有（　　）个．

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 ①根据等边三角形的性质可得出BC=AC、CD=CE、∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，再根据全等三角形的对应边相等即可证得①成立；②
由全等三角形的对应角相等即可得到∠CBF=∠CAG，根据ASA证得△BCF≌△ACG，再根据全等三角形的对应边相等即可得出BF=AG，即②不成立；③同理证得CF=CG，得到△CFG是等边三角形，易得③成立；④过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，由全等三角形的对应角相等即可得到∠CDN=∠CEM，根据AAS证得△CDN≌△CEM，再根据全等三角形的对应边相等即可得出CM=CN，结合角平分线的性质即可得出OC为∠BOE的角平分线，易得④成立；⑤在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，根据全等三角形的性质可得出EM=DN，再由边与边之间的关系利用SSS即可证出△CMG≌△CNF，通过角的计算即可得出∠CPE=∠COD，再结合∠CDO=∠CEP利用AAS即可证出△COD≌△CPE，从而得出OD=PE，由边与边之间的关系即可找出BO=AO+OC，即⑤成立．综上即可得出结论．

解答 解：①∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，结论①成立；
②∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBF=∠CAG．
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACG=180°-∠ACB-∠DCE=60°．
在△BCF和△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAG}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACG=60°}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴BF=AG，结论②不成立；
③∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．
∵∠FCG=60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CFG=60°．
∵∠BCF=60，
∴∠BCF=∠CFG，
∴FG∥BE，结论③成立；
④过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示．
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDN=∠CEM．
在△CDN和△CEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠CEG}\\{∠CND=∠CGE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM=CN，
∴OC为∠BOE的角平分线，
∴∠BOC=∠EOC，结论④成立；
⑤在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，如图2所示．
∵△CDN≌△CEM，
∴EM=DN，
∵BD=AE，BF=AG，
∴MG=NF．
在△CMG和△CNF中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CN}\\{CG=CF}\\{MG=NF}\end{array}\right.$，
∴△CMG≌△CNF（SSS），
∴∠MCG=∠NCF，
∴∠MCN=∠GCF=60°，
∴∠MON=360°-∠MCN-90°-90°=120°．
∵∠BOC=∠EOC，
∴∠BOC=∠EOC=$\frac{1}{2}$∠MON=60°，
∴∠COD=180°-∠BOC=120°．
∵CP=CO，∠COP=60°，
∴△COP为等边三角形，
∴∠CPO=60°，OP=OC，
∴∠CPE=180°-∠CPO=120°=∠COD．
在△COD和△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDO=∠CEP}\\{∠COD=∠CPE}\\{CO=CP}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△CPE（AAS），
∴OD=PE．
∴BO=BD-OD=AE-PE=AO+OP=AO+OC，结论⑤成立．
综上所述：正确的结论有①③④⑤．
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定与性质逐一判定五条结论的成立与否是解题的关键．