Question

18．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与一次函数y=$\frac{3}{4}$x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
（1）当点A的横坐标为4时．
①求k的值；
②根据反比例函数的图象，直接写出当-4＜x＜1（x≠0）时，y的取值范围；
（2）点C为y轴正半轴上一点，∠ACB=90°，且△ACB的面积为10，求k的值．

Answer 1

分析 （1）①根据点A的横坐标是4，可以求得点A的纵坐标，从而可以求得k的值；
②根据反比例函数的性质，可以写出y的取值范围；
（2）根据点C为y轴正半轴上一点，∠ACB=90°，且△ACB的面积为10，灵活变化，可以求得点A的坐标，从而可以求得k的值．

解答 解：（1）①将x=4代入y=$\frac{3}{4}$x得，y=3，
∴点A（4，3），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与一次函数y=$\frac{3}{4}$x的图象交于A点，
∴3=$\frac{k}{4}$，
∴k=12；
②∵x=-4时，y=$\frac{12}{-4}$=-3，x=1时，y=$\frac{12}{1}$=12，
∴由反比例函数的性质可知，当-4＜x＜1（x≠0）时，y的取值范围是y＜-3或y＞12；
（2）设点A为（a，$\frac{3}{4}a$），
则OA=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{3a}{4}）^{2}}$=$\frac{5a}{4}$，
∵点C为y轴正半轴上一点，∠ACB=90°，且△ACB的面积为10，
∴OA=OB=OC=$\frac{5a}{4}$，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}×\frac{5a}{4}×2a$=10，
解得，a=$2\sqrt{2}$，
∴点A为（2$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{k}{2\sqrt{2}}$，
解得，k=6，
即k的值是6．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．