Question

已知如下图所示，在等边△ABC和等边△ADE中，点B、A、D在一条直线上，BE、CD交于F．
（1）求证：△BAE≌△CAD．
（2）求∠BFC的大小．
（3）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，此时BE交CD的延长线于点F，其他条件不变，得到图2所示的图形，请直接写出（1）、（2）中结论是否仍然成立．

Answer 1

（1）证明：∵等边△ABC和等边△ADE，
∴AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=60°，
∴∠CAE=60°，
∠BAE=∠CAD=120°，
∴△BAE≌△CAD，

（2）解：∵△BAE≌△CAD，
∴∠ADC=∠AEB，
∵∠BFC=∠ABE+∠ADC，
∴∠BFC=∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE，∠BAE=120°，
∴∠BFC=60°，

（3）解：成立．
∵等边△ABC和等边△ADE，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△BAE≌△CAD，
∵∠CDA=∠AEB，
∴∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-60°=120°，
∴∠ABE+∠BDF=120°，
∠BFC=180°-（∠ABE+∠BDF）=60°．
分析：（1）首先由于AB=AC，AD=AE，∠BAE=∠CAD=120°，可以证明△BAE≌△CAD，
（2）根据（1）推出的结论即可推出∠ADC=∠AEB，根据外角的性质，即得∠BFC=∠ABE+∠ADC=∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，
（3）成立，由AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°，即可推出△BAE≌△CAD，即得∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB=180°-60°=120°，即可推出∠BFC=180°-（∠ABE+∠BDF）=60°．
点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键在于根据已知条件推出△BAE≌△CAD，熟练运用外角的性质、内角和定理等知识点．