Question

11．在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）设BP=x，则CP=2-x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=$\frac{1}{2}$x，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，CN=$\frac{1}{2}$（2-x），PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x），根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，
∴$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AB•PM+$\frac{1}{2}$AC•PN，
∴PM+PN=CD，
即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）设BP=x，则CP=2-x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴BM=$\frac{1}{2}$x，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，CN=$\frac{1}{2}$（2-x），PN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x），
∴四边形AMPN的面积=$\frac{1}{2}$×（2-$\frac{1}{2}$x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}×$[2-$\frac{1}{2}$（2-x）]•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．