Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；

②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；

③连接PB，PC．

请你观察图形解答下列问题：

（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是　 　；

（2）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．

Answer 1

【答案】（1）PA＝PB＝PC；（2）80°．

【解析】

（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA＝PB＝PC；

（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC＝∠ACB＝70°，由三角形的内角和得：∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°，由角平分线定义得：∠BAD＝∠CAD＝20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．

（1）如图，PA＝PB＝PC，理由是：

∵AB＝AC，AM平分∠BAC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴PB＝PC，

∵EP是AB的垂直平分线，

∴PA＝PB，

∴PA＝PB＝PC；

故答案为：PA＝PB＝PC；

（2）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°，

∵AM平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝20°，

∵PA＝PB＝PC，

∴∠ABP＝∠BAP＝∠ACP＝20°，

∴∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP＝20°+40°+20°＝80°．