Question

已知a、b是正数，且a+b=2，则

a2+1

+

b2+4

的最小值=______．

Answer 1

∵a+b=2，
∴b=2-a，代入

a2+1

+

b2+4

，
得：

a2+1

+

(2-a)2+22

，
构造如下图形，如图，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，
作出A关于直线l的对称点C，连接BC与直线l交于点P，此时AP+PB最短．
延长BD，过C作CF垂直于BC的延长线，垂足为F，
设PD=a，可得ED=2-a，
在Rt△AEP中，根据勾股定理得：
AP=

(2-a)2+22

，BP=

a2+1

，
则

a2+1

+

(2-a)2+22

=AP+BP，
当B、P、C三点共线时，因为直线l为线段AC的垂直平分线，
则AP+BP=CP+PB=BC，此时BC的长即为所求式子的最小值，
此时在Rt△CBF中，DF=EC=AE=2，故BF=BD+DF=1+2=3，CF=ED=2，
由勾股定理可求得BC=

22+(2+1)2

=

13

，
则

a2+1

+

b2+4

的最小值为

13

．