Question

A₁A₂B是直角三角形，且A₁A₂=A₂B=a，A₂A₃⊥A₁B，垂足为A₃，A₃A₄⊥A₂B，垂足为A₄，A₄A₅⊥A₃B，垂足为A₅，…，A_n+1A_n+2⊥A_nB，垂足为A_n+2，则线段A_n+1A_n+2（n为自然数）的长为（　　）

• A、

  a

  2n

• B、

  a

  ( 2 )n+1

• C、

  a

  2

• D、

  a

  2n

Answer 1

分析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A₂A₃及A₃A₄的长，找出规律即可解答．

解答：解：∵△A₁A₂B是直角三角形，且A₁A₂=A₂B=a，A₂A₃⊥A₁B，
∴A₁B=

a2+ a2

=

2

a，
∵△A₁A₂B是等腰直角三角形，∴A₂A₃⊥A₁B，
∴A₂A₃=A₁A₃=

1

2

A₁B=

2 a

2

=

a

21

，
同理，△A₂A₃B是等腰直角三角形，A₂A₃=A₃B=

2 a

2

，
A₂B=

A2A32+A3B2

=

( 2 a 2 )2+( 2 a 2 )2

=

a

2

=

a

22

，
∴线段A_n+1A_n+2（n为自然数）的长为

a

2n

．
故选A．

点评：此题属规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出A₂A₃及A₃A₄的长找出规律．