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如图,已知抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0)和原点O.正方形BCDE的顶点B在抛物线y=x2+bx+c上,且在对称精英家教网轴的左侧,点C、D在x轴上,点E在第四象限,且OD=1
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求正方形BCDE的边长;
(3)若正方形BCDE沿x轴向右平移,当正方形的顶点落在抛物线y=x2+bx+c上时,求平移的距离;
(4)若抛物线y=x2+bx+c沿射线BD方向平移,使抛物线的顶点P落在x轴上,求抛物线平移的距离.
分析:(1)将A和原点的坐标代入抛物线中,即可求出抛物线的解析式.
(2)可设出C的坐标如(a,0),那么CD=BC=1-a,因此B点坐标为(a,1-a)代入抛物线的解析式中即可求出B点坐标.
(3)本题要按四边顶点分别在抛物线的图象上这四种情况进行求解,解题思路一致.以E点落在抛物线图象上为例说明:题(2)已经求出了正方形的边长为
3
-1,根据抛物线的对称性,那么此时E′的坐标为(1+
3
,1-
3
),已知了OD=6,而OD′=1+
3
,因此移动的距离为OD′-OD=
3
.(其他情况解法一样).
(4)假设平移后抛物线的顶点为P′,可先根据直线BD的解析式求出直线PP′的解析式,进而求出P′的坐标,那么PP′就是抛物线平移的距离.
解答:解:(1)由题意可得:
9+3b+c=0
c=0

解得
b=-3
c=0

∴y=x2-3x.

(2)设正方形的边长为a,
则B(1-a,-a)代入解析式.
a=
3
-1


(3)①当E点运动到抛物线上时,设平移后正方形为A′B′C′D′,
根据抛物线的对称性可知:E′(1+
3
,1-
3
),
因此OD′=1+
3
,即平移的距离为OD′-OD=
3

②当B点运动到抛物线上时,同理可求得B′(1+
3
,1-
3
),
因此OC′=1+
3

因为OC=1-a=2-
3

因此平移的距离为OC′-OC=2
3
-1.
③当D点运动到抛物线上时,可得D′(3,0),因此平移的距离为OD′-OD=3-1=2.
④当C点运动到抛物线上时,可得C′(3,0),因此抛物线移动的距离为OC′-OC=3-(2-
3
)=1+
3

综上所述,正方形平移的距离为
3
,2,2
3
-1,
3
+1.

(4)设平移后抛物线的顶点为P′,易知:直线BD的解析式为y=x-1.
因此可设直线PP′的解析式为y=x+h.
易知P(
3
2
,-
9
4
),代入直线PP′中可得h=-
15
4

因此P′(
15
4
,0)则平移的距离为
(
3
2
-
15
4
)
2
+(-
9
4
)
2
=
9
2
4
点评:本题考查了二次函数解析式的确定、正方形的性质、函数图象的平移、一次函数的应用等知识.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点精英家教网C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的函数解析式;
(3)在抛物线上,是否存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)点Q是直线BC上的一个动点,若△QOB为等腰三角形,请写出此时点Q的坐标.(可直接写出结果)

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)精英家教网、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标.

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(2013•衡阳)如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=-1.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.
①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形;
②△AON能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)点P是抛物线对称轴上一点,若△PAB∽△OBC,求点P的坐标.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-1,-4),且与x轴交于A、B(1,0)两点,交y轴于点C;
(1)求此抛物线的解析式;
(2)①当x的取值范围满足条件
-2<x<0
-2<x<0
时,y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是抛物线上两点,且y1>y2,求实数m的取值范围;
(3)直线x=t平行于y轴,分别交线段AC于点M、交抛物线于点N,求线段MN的长度的最大值;
(4)若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时,正好也与y轴相切,求点P的坐标.

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