Question

1．如图，在一次高尔夫球比赛中，小明从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度10m时，球移动的水平距离为8m．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，OC=12m．
（1）求点A的坐标；
（2）求球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACO中，根据特殊角的三角函数值求出AC的长度，由此即可得出点A的坐标；
（2）由顶点B的坐标设球的飞行路线所在抛物线的解析式为y=a（x-8）²+10，根据点O的坐标利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式；
（3）代入x=12，求出当x=12时，抛物线上点的纵坐标，将其与点A的纵坐标进行比较，即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△ACO中，∠ACO=90°，∠AOC=30°，OC=12，
∴AC=OC•tan∠AOC=12×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴点A的坐标为（12，4$\sqrt{3}$）．
（2）∵顶点B的坐标为（8，10），
∴设球的飞行路线所在抛物线的解析式为y=a（x-8）²+10，
∵点O（0，0）在抛物线上，
∴0=a×（0-8）²+10，解得：a=-$\frac{5}{32}$，
∴球的飞行路线所在抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{32}$（x-8）²+10=-$\frac{5}{32}$x²+$\frac{5}{2}$x．
（3）令y=-$\frac{5}{32}$x²+$\frac{5}{2}$x中x=12，则y=-$\frac{5}{32}$×12²+$\frac{5}{2}$×12=$\frac{15}{2}$，
∵$\frac{15}{2}$≠4$\sqrt{3}$，
∴点A不在球的飞行路线所在抛物线上．
故小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．

点评 本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出AC的长；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）判定点A是否在该抛物线上．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线关系式是关键．