Question

3．己知AC∥BD，∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E，求证：CE=DE．

Answer 1

分析 在AB上取一点F，使AF=AC，连结EF，易证△ACE≌△AFE，则∠C=∠AFE，CE=EF，由平行线的性质就有∠C+∠D=180°，由∠AFE+∠EFB=180°得出∠EFB=∠D，证明△BEF≌△BED，则EF=ED，进而就可以得出结论．

解答 证明：在AB上取一点F，使AF=AC，连结EF．
∵EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE=∠FAE，∠EBF=∠EBD．
在△ACE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AF}\\{∠CAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠C=∠AFE，CE=EF，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°．
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠D．
在△BEF和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFB=∠D}\\{∠EBF=∠EBD}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BED（AAS），
∴DE=EF．
∴CE=DE．

点评 本题考查了平行线的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．