Question

6．已知：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，-1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x-h）²+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，先求出点F坐标，根据S_△FHB=$\frac{1}{2}$GH×|x_G-x_F|+$\frac{1}{2}$GH×|x_B-x_G|计算即可．
（3）如图2中，设M（2，m），（m＞$\frac{4}{3}$），因为OM²=m²+4，BM²=m²+1，OB²=9，∠OMB=90°，根据OM²+BM²=OB²，可得m²+4+m²+1=9，解方程即可解决问题．
（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，在y轴上取一点N（0，1），求出直线BN的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，利用方程组即可求出点P坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{9a+3b-2=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2=-$\frac{2}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$；               

（2）如图1，

过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，-2），
∵B（0，3），
∴直线BC解析式为y=$\frac{2}{3}$x-2，
∵H（1，y）在直线BC上，
∴y=-$\frac{4}{3}$，
∴H（1，-$\frac{4}{3}$），
∵B（3，0），E（0，-1），
∴直线BE解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1，
∴G（1，-$\frac{2}{3}$），
∴GH=$\frac{2}{3}$，
∵直线BE：y=-$\frac{1}{3}$x-1与抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2相较于F，B，
∴F（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{6}$），
∴S_△FHB=$\frac{1}{2}$GH×|x_G-x_F|+$\frac{1}{2}$GH×|x_B-x_G|=$\frac{1}{2}$GH×|x_B-x_F|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{6}$．                                                              

（3）如图2，

由（1）有y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2，
∵D为抛物线的顶点，∴D（2，$\frac{2}{3}$），
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴设M（2，m），（m＞$\frac{2}{3}$），
∴OM²=m²+4，BM²=m²+1，OB²=9，
∵∠OMB=90°，
∴OM²+BM²=OB²，
∴m²+4+m²+1=9，
∴m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（舍），
∴M（0，$\sqrt{2}$），
∴MD=$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$，
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴t=$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$；                                                

（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，
如图3，

∴∠PBO=∠EBO，
∵E（0，-1），
∴在y轴上取一点N（0，1），
∵B（3，0），
∴直线BN的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1①，
∵点P在抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2②上，
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍），
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、三角形的面积角平分线等知识，解题时根据灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．