Question

如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=3，BC=11，DC=6，P为BC边上一点，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及△ABP与△PCD的面积比．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：首先设BP=x，然后分别从当

AB

CD

=

BP

CP

，即

3

6

=

x

11-x

时，△ABP∽△DCP与当

AB

CP

=

BP

CD

，即

3

11-x

=

x

6

时，△ABP∽△PCD去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵AB∥CD，∠B=90°，
∴∠C=∠B=90°，
设BP=x，则CP=BC-BP=11-x，
①当

AB

CD

=

BP

CP

，即

3

6

=

x

11-x

时，△ABP∽△DCP，
解得：x=

11

3

，
∴BP=

11

3

，CP=11-

11

3

=

22

3

，
∴S_△ABP：S_△CDP=1：4；
②当

AB

CP

=

BP

CD

，即

3

11-x

=

x

6

时，△ABP∽△PCD，
解得：x₁=2，x₂=9，
∴BP=2或BP=9，
当BP=2时，S_△ABP：S_△CDP=1：9，
当BP=9时，S_△ABP：S_△CDP=9：4．

点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．