Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）．
（1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标；
（3）⊙P上是否存在一点Q，使得△QBC与△AOC相似？如果存在，请直接写出点Q 坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)作图见解析；（2）点P坐标为（1，-1）．（3）⊙P上存在一点Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC与△AOC相似．

试题分析：（1）作出AC与BC线段垂直平分线得出交点即为圆心，进而利用圆心到线段端点距离长为半径求出即可；
（2）过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE，在Rt△BPD中，BP²=x²+3²，在Rt△CEP中，CP²=（x+2）²+1²，由BP=CP，求出x的值，即可得出P点坐标；
（3）利用相似三角形的判定得出△Q₁BC∽△ACO，进而结合圆周角定理得出Q点坐标．
（1）如图1所示：

（2）如图2，过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE．
∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．
∵OB=4，∴OD=OB-BD=1．
∴PE=OD=1．
设DP=x，则OE=PD=x．
在Rt△BPD中，BP²=x²+3²．
在Rt△CEP中，CP²=（x+2）²+1²．
∵BP=CP，
∴x²+3²=（x+2）²+1²．
解得：x=1．
∴点P坐标为（1，-1）．  
（3）如图2，连接BP并延长到⊙P于一点Q₁，连接CQ₁，

则BQ₁是直径，
∴∠Q₁CB=90°，
又∵∠CAB=∠CQ₁B，
∴△Q₁BC∽△ACO，
此时连接AQ₁则∠Q₁AB=90°，
∴Q₁横坐标为：-2，
∵AB=6，BQ₁=2BP=2，
∴AQ₁=2，
∴Q₁（-2，-2），
同理构造直角三角形CFQ₂，
可得出：CF=6，CQ₂=2，
∴FQ₂=2，FO=4，
则Q₂（2，-4），
综上所述：⊙P上存在一点Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC与△AOC相似．