Question

如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0）、C（m，0）．连接AB、BC、CD、DA．
（1）四边形ABCD的形状一定是______．
（2）若m=2且四边形ABCD是矩形，求点B的坐标．
（3）试探究：当直线y=kx绕原点O旋转时，四边形ABCD能不能是菱形？若能，请直接写出A、B、C、D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）四边形ABCD一定是平行四边形，理由如下：
∵A（-m，0）、C（m，0），
∴OA=OC，
由对称性可知OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）当m=2时，点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（-2，0），
若四边形ABCD是矩形，则有OB=OC=2
设点B的坐标为（x，y），得，
解得：，（负值舍去），
∴点B的坐标为（1，）或（，1）；

（3）若四边形ABCD是菱形，
∵OA=OC，OB=OD，
则 BD⊥AC，
又∵点A、点C在x轴上，
∴直线BD与y轴重合，这与“双曲线不与坐标轴相交”矛盾，
∴四边形ABCD不可能是菱形．
故答案为：平行四边形．
分析：（1）四边形ABCD为平行四边形，理由为：由A与C的坐标得到OA与OC相等，又根据对称的性质得到OB与OD相等，然后根据对角线平分的四边形为平行四边形得证；
（2）把m=2代入即可确定出A与C的坐标，又根据矩形的对角线互相平分且相等，得到OB与OC相等都等于2，设出点B的坐标为（x，y），代入到反比例解析式中得到一个方程，根据勾股定理，由B的横纵坐标表示出OB的长，然后令其值为2列出另一个方程，两方程联立即可求出x与y的值，进而得出点B的坐标；
（3）利用反证法来证，先假设四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相平分且互相垂直，得到OA=OC，OB=OD，且AC与BD垂直，又A与C在x轴上，故B与D在y轴上，与双曲线不与坐标轴相交矛盾，所以假设错误，故四边形ABCD不能为菱形．
点评：此题考查了平行四边形、矩形的性质，反证法以及一次函数与反比例函数的综合．要求学生掌握平行四边形及矩形的性质，理解反证法的步骤，综合运用所学知识，培养了学生发现问题，分析问题及解决问题的能力．学生在作第二问，求B坐标时注意B点在第一象限这个条件．其中反证法的步骤为：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证的定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．