Question

25、如图①，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，连接AP、PQ．
（1）请你判断AP与PQ的数量关系并证明：
（2）如图②，若将“四边形ABCD是矩形”的条件改为“四边形ABCD是平行四边形”，则（1）中的结论是否成立，若不成立，请说明理由，若成立，请给出证明．

Answer 1

分析：要证PA=PQ，证△PAB≌△PQC即可得到，由△PBC和△QCD都是等边三角形，
则PB=PC，CQ=AB．由∴∠PBA=∠DCP=∠BCQ=90°-60°=30°．
∴∠PCQ=90°-∠DCP-∠BCQ=30°．

解答：证明：①AP等于PQ．
∵△PBC和△QCD都是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
∴PB=PC，CQ=CD=AB．
∴∠PBC=PCB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PBA=∠DCP=∠BCQ=90°-60°=30°．
∴∠PCQ=90°-∠DCP-∠BCQ=30°．
即∠PBA=∠PCQ．
又∵PB=PC，CQ=AB．
∴△PAB≌△PQC．
∴AP=PQ．
②当四边形ABCD是平行四边形时AP=PQ．
∵△PBC和△QCD都是等边三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，∠QCD=60°．
PA=PC，CQ=AB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠PCQ=180°-∠PCB-∠QCD-∠ABC=60°-∠ABC．
又∵∠PBA=∠PBC-∠ABC=60°-∠ABC，
∴∠PBA=∠PCQ，
∴△PAB≌△PQC．
∴AP=PQ．

点评：此题考查了全等三角形的判定和性质，以及四边形的性质，同学们应该熟练掌握．