Question

在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．

（1）①OB=

10

； ②sin∠BOA=

0.8

；③求证：CD是⊙P的切线；
（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；
（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）．求CF的长．

Answer 1

分析：（1）①根据两点间的距离公式可以求得OB的长度；
②如图1，过点B作BN⊥OA于点H，则由三角函数的定义进行解答；
③如图1，连接PC，欲证CD是⊙P的切线，只需证明PC⊥CD即可；
（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．根据切线的性质知PE⊥OE，所以在Rt△OPE和Rt△OBN中，利用∠BON的正弦函数的定义列出关于r的比例式

r

10-r

=

4

5

，由此可以求得r的值；
（3）如图3，由正方形PCDE的四条边相等知DE=DC=r，则BD=OB-OE-DE．然后将其代入相似三角形（△BDF∽△PCF）的对应边成比例的比例式

BD

PC

=

DF

CF

中，从而求得CF的值．

解答：解：（1）①∵B（6，8），
∴OB=

62+82

=10．
故填：10；
②如图1，过点B作BH⊥OA于点H．则BH=8．故sin∠BOA=

BN

OB

=

8

10

=0.8．
故填：0.8；
③证明：如图1，连接PC．
∵PC=PA（⊙P的半径），
∴∠1=∠2（等边对等角）．
∵A（10，0），由①知OB=10，
∴OA=OB=10，
∴∠OBA=∠1（等边对等角），
∴∠OBA=∠2（等量代换），
∴PC∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∵CD⊥OB，
∴CD⊥PC，
∴CD为⊙P的切线；

（2）如图2，过B作BN⊥x轴于点N，设圆P的半径为r．
∵⊙P与OB相切于点E，则OB⊥PE，OA=10，
∴在Rt△OPE中，sin∠EOP=

PE

OP

=

r

10-r

，
在Rt△OBN中，sin∠BON=

BN

OB

=

8

10

=

4

5

，
则

r

10-r

=

4

5

，
解得：r=

40

9

；

（3）如图3，∵由（2）知r=

40

9

，
∴在Rt△OPE中，OE=

OP2-PE2

=

10

3

（勾股定理），
∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°，
∴四边形PCDE是矩形．
又∵PE=PC（⊙O的半径），
∴矩形PCDE是正方形，
∴DE=DC=r=

40

9

，
∴BD=OB-OE-DE=10-

10

3

-

40

9

=

20

9

．
∵∠BFD=∠PFC，∠PEO=∠PCF=90°，
∴△BDF∽△PCF，
∴

BD

PC

=

DF

CF

，即

20 9

40 9

=

40 9 -CF

CF

，
解得CF=

80

27

，即CF的长度是

80

27

．

点评：本题考查了圆的综合题．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．在证明（3）时，巧妙的运用了旋转的性质，切线的性质求得EG的长度．