Question

某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．

（1）如图1，△ABC两内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点E．则∠BEC=90°+∠A．
（阅读下面证明过程，并填空．）
证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分线的定义）
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）（______）
=180°-（）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=______=90°+
（2）如图2，△ABC的内角∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACM的平分线交于点E．
请你写出∠BEC与∠A的数量关系，并证明．
答：∠BEC与∠A的数量关系式：______．
证明：______．
（3）如图3，△ABC的两外角∠CBD与∠BCF的平分线交于点E，请你直接写出∠BEC与∠A的数量关系，不需证明．

Answer 1

（1）证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分线的定义）
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）（ 三角形内角和定理）
=180°-（），
=180°-（∠ABC+∠ACB），
=180°-（180°-∠A），
=180°-90°+∠A，
=90°+；

（2）探究2结论：∠BEC=∠A，
理由如下：
∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACM的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A；

（3）探究3：∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC），
∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB，
=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），
=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BEC=90°-∠A．
分析：（1）根据题目解答过程填写即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC与∠E的关系；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．