Question

题甲：如图，反比例函数的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，-1）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

题乙：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；
（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

甲题：
解：（1）∵A（1，3）在y=的图象上，
∴k=3，
∴．                                             
又∵B（n，-1）在的图象上，
∴n=-3，即B（-3，-1）．                               
∴解得：m=1，b=2．                      
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=x+2；

（2）从图象上可知，当反比例函数图象在一次函数图象上面时，
即x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值．   

乙题：
解：（1）在Rt△PCD中，由tan∠CPD=，得
，
∴AP=AD-PD=10-4．                              
由△AEP∽△DPC知：，
∴；

（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x．
由△AEP∽△DPC知：，
∴，
解得x=8．
即PD=8．
分析：甲题：A（1，3）在y=的图象上，代入就可以求出k的值，得到k=3，把B（n，-1）代入的解析式就可以求出n的值．进而根据待定系数法求出一次函数的解析式．根据函数的图象就可以得到，反比例函数的值大于一次函数的值时x的范围．
乙题：①先由“∠CPD=30°和AC=4”得出DP的长，再得AP，从而可求AE；②可以求出，只要先令DP=2AP即可．
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及反比例函数的图象画法和它的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．