Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径．∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D．DE⊥AB于点E，且交AC于点P．连结AD，
求证：
（1）∠DAC=∠DBA；
（2）P是线段AF的中点．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）根据角平分线的性质可得∠CBD=∠DBA，由圆周角定理可得∠DAC=∠CBD，继而可得出结论；
（2）根据等角的余角相等，得出∠ADE=∠ABD，结合（1）可得PA=PD，再由等角的余角相等得出∠PDF=∠PFD，继而得出PD=PF，然后可得结论．

解答：解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA．

（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是线段AF的中点．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例，同弧所对的圆周角相等，注意数形结合思想运用．