Question

求方程x³=2y³+4z³的整数解．

Answer 1

考点：高次方程

专题：存在型

分析：首先根据方程x³=2y³+4z³的整数解很容易确定（0，0，0）为方程的一组解．再假设（x₁，y₁，z₁）为方程的另一组非零解，则观察方程x³=2y³+4z³及根据整数奇偶性可知：x₁为偶数，假设x₁=2x₂．根据同样的原理，也可确定y为偶数、z为偶数，并且循环反复，有（x，y，z）为方程解．因而有(

x

2

，

y

2

，

z

2

)，…，(

x

2n

，

y

2n

，

z

2n

)均为方程的解．而(

x

2n

，

y

2n

，

z

2n

)不可能永远为偶数．因而只能是（0，0，0）这一组解．

解答：解：显然（0，0，0）为方程的一组解，设（x₁，y₁，z₁）为方程的另一组非零解，则利用奇偶性可知：x₁为偶数，x₁=2x₂
则8x₂³=2y³+4z³，即4x₂³=y₁³+2z₁³
∴y₁为偶数：y₁=2y₂
∴8x₂³=4x₂³-2z₁³，即4y₂³=2x₂³-z₁³
∴z₁为偶数：z₁=2z₂
∴8z₂³=2x₂³-4y₂³，即4z₂³=x₂³-2y₂³
∴x₂为偶数
如此循环反复，有（x，y，z）为方程解，
则（

x

2

，

y

2

，

z

2

）为方程的解，…，（

x

2n

，

y

2n

，

z

2n

）为方程的解
∴而（

x

2n

，

y

2n

，

z

2n

）不可能永远为偶数．
∴只有x=y=z=0为方程的解．

点评：解决本题主要是验证当x、y、z为偶数时，不存在，进而只能确定（0，0，0）为方程的这一组解．