Question

【题目】已知△ABC是边长为的等边三角形．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

（1）如图a，当θ=20°时，判断△ABD与△ACE是否全等？并说明理由；

（2）当△ABC旋转到如图b所在位置时（60°＜θ＜120°），求∠BOE的度数；

（3）在θ从60°到120°的旋转过程中，点O运动的轨迹长为 ．

Answer 1

【答案】(1)全等，理由见解析；（2）120°；（3）．

【解析】

（1）结论：△ABD≌△ACE．根据SAS证明即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）如图b中，AD交AE于J．设△ABC的外接圆的圆心为K．证明∠AOC=120°，推出点O的运动轨迹是K为圆心，KC半径的圆弧，圆心角为60°从而可以求得运动的轨迹．

解：（1）结论：△ABD≌△ACE．

∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，∴△ABC是等边三角形．

∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝20°，

在△ABD与△ACE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

（2）由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB＝AD＝AC＝AE．

∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD＝∠CAE＝θ．

∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴∠ADB＝∠AEC．

∵∠ADB＋∠ABD＋∠BAD＝180°，∴∠AEC＋∠ABO＋∠BAD＝180°．

∵∠ABO＋∠AEC＋∠BAE＋∠BOE＝360°，∠BAE＝∠BAD＋∠DAE，

∴∠DAE＋∠BOE＝180°．

又∵∠DAE＝60°，∴∠BOE＝120°．

（3）如图b中，AD交AE于J．设△ABC的外接圆的圆心为K．

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ODJ=∠AEJ，
∵∠AJE=∠OJD，
∴∠EAJ=∠JOD=60°，
∴∠AOC=120°，
∴点O的运动轨迹是K为圆心，KC半径的圆弧，圆心角为60°．
∴当θ从60°到120°的旋转过程中，运动的轨迹为=，
故答案为：．