Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是菱形；

（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE的形状是什么？不必说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）平行四边形AODE是矩形，见解析．

【解析】

（1）根据矩形的性质求出OA＝OD，证出四边形AODE是平行四边形即可；

（2）根据菱形的性质求出∠AOD＝90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可．

（1）证明：∵矩形ABCD，

∴OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，AC＝BD，

∴OA＝OD，

∵DE∥CA，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，

∴四边形AODE是菱形．

（2）解：∵DE∥CA，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝90°，

∴平行四边形AODE是矩形．