Question

11．如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 AC与BD垂直，理由为：由AB=AD，利用等边对等角得到一对角相等，利用等式性质得到∠BDC=∠DBC，利用等角对等边得到DC=BC，利用SSS得到三角形ABC与三角形ADC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DAC=∠BAC，再利用三线合一即可得证．

解答 解：AC⊥BD，理由为：
∵AB=AD（已知），
∴∠ADB=∠ABD（等边对等角），
∵∠ABC=∠ADC（已知），
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB（等式性质），即∠BDC=∠DBC，
∴DC=BC（等角对等边），
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC（全等三角形的对应角相等），
又∵AB=AD，
∴AC⊥BD（等腰三角形三线合一）．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．