Question

请阅读下列材料：
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)；

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)；

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)；
…

1

2007×2009

=

1

2

(

1

2007

-

1

2009

)
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2007×2009

=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2007

-

1

2009

)
=

1

2

×(1-

1

2009

)
=

1004

2009

解答下列问题：
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第5项为

 

，第n项为

1

(2n-1)(2n+1)

，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以

 

，从而达到求和目的．
（2）利用上述结论计算

1

x(x+2)

+

1

(x+2)(x+4)

+

1

(x+4)(x+6)

+…+

1

(x+2008)(x+2010)

Answer 1

分析：本题为规律性试题，我们可以看到，每一项分母为相邻的两个奇数项相乘，每一项分母的后一个奇数与它后一项分母的前一个奇数相等，寻找规律计算即可．

解答：解：（1）

1

9×11

、

1

(2n-1)(2n+1)

、抵消为零；

（2）原式=

1

2

(

1

x

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+4

+

1

x+4

-

1

x+6

++

1

x+2008

-

1

x+2010

)
=

1

2

(

1

x

-

1

x+2010

)
=

1005

x(x+2010)

点评：本题考查了寻找规律性的问题，关键为找到每一项的共性，以及每一项之间的联系．