Question

6．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在BC上，CD=BE=AB，点F是AE的中点，连接CF并延长CF交AB于点G．
（1）如图1，若AD=3，AE=$\sqrt{10}$，求CD的长；
（2）如图2，若AD=BD，求证：BG=BD．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=1，推出BD=CE，设BD=CE=x，则，AB=BD+DE=x+1根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接BF，DF，根据等腰直角三角形的性质得到∠DBA=∠DAB=45°，推出DF=AF=EF，过F作FH⊥BC于H，得到FH垂直平分BC，求得BF=CF，根据等腰三角形的性质得到∠EBF=∠ECF=22.5°，于是得到∠BGF=∠BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AD⊥BC，AD=3，AE=$\sqrt{10}$，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∵CD=BE=AB，
∴BE-DE=CD-DE，
∴BD=CE，
设BD=CE=x，则，AB=BD+DE=x+1
∵AD²+BD²=AB²，即；3²+x²=（x+1）²，
∴x=4，
∴CE=4，
∴CD=5；

（2）证明：连接BF，DF，
∵AD⊥BC，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB=45°，
∵CD=BE=AB，点F是AE的中点，
∴BF⊥AE，
∴∠ABF=∠EBF=22.5°，
∠BAE=∠BEA=67.5°，
∴DF=AF=EF，
过F作FH⊥BC于H，
∴DH=EH，
∵BD=CE，
∴BH=CH，
∴FH垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠EBF=∠ECF=22.5°，
∴∠EFC=∠AFG=∠BEA-∠ECF=45°，
∴∠AGF=∠FDE=67.5°，
∴∠BGF=∠BDF，
在△BGF与△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠EBF}\\{∠BGF=∠BDF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△BDF，
∴BG=BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．