Question

如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60º，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

（1）见解析；（2）OE＝4EF

解析试题分析：（1）先根据角平分线的性质得到ED＝EC，再结合公共边OE即可证得Rt△OED≌Rt△OEC，从而证得结论；
（2）由Rt△OED≌Rt△OEC结合∠AOB＝60º，含30º角的直角三角形的性质即可得到结果.
(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA
∴ED＝EC
∵OE＝OE
∴Rt△OED≌Rt△OEC
∴OC＝OD
∵OE平分∠AOB
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE平分∠AOB，∠AOB＝60º，
∴∠AOE＝∠BOE＝30º
∵ED⊥OA
∴OE＝2DE
∵∠EFD＝90º，∠DEO＝90º－∠DOE＝90º－30º＝60º
∴∠EDF＝30º
∴DE＝2EF
∴OE＝4EF．
考点：本题考查的是角平分线的性质，垂直平分线的判定，含30º角的直角三角形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；30º角所对的直角边等于斜边的一半.