Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上，点A与坐标原点重合，且AB=2，AD=1．
操作：将矩形ABCD折叠，使点A落在边DC上．
探究：
（1）我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交，那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形；（只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的！）
（2）当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E，与边OB相交于点F时，设直线的解析式为y=kx+b．
①求b与k的函数关系式；
②求折痕EF的长（用含k的代数式表示），并写出k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）此题可以首先确定两种特殊情况：一是当点A和点D重合时，则折痕即为OD的垂直平分线；二是点A和点C重合时，则折痕是AC的垂直平分线．根据这两种特殊情况，其它的只能位于这两种折痕之间．
（2）令y=0，得x=-

b

k

，令x=0，得y=b，
①如图，设A折叠后与M点重合，M的坐标为（m，1），证明△EOF∽△MDO，根据相似三角形的对应边成比例得到

DM

EO

=

OD

FO

，则OE=b，OF=-

b

k

，DM=m，OD=1，这样就可以用b，k表示m，然后在Rt△EDM中就可以得到k，b的关系式；
②在Rt△OEF中根据勾股定理可以用k的代数式表示了．

解答：解：（1）

（2）令y=0，得x=-

b

k

，令x=0，得y=b，
∴E（0，b），F （-

b

k

，0），
①如图设A折叠后与M点重合，M的坐标为（m，1），连接EM，根据折叠知道EF⊥OM，而MD⊥OD，
∴△EOF∽△MDO，
∴

DM

EO

=

OD

FO

，而OE=b，OF=-

b

k

，DM=m，OD=1，
代入比例式中得到m=-k，在Rt△EDM中，EM²=ED²+DM²，而根据折叠知道OE=EM，
∴b²=（1-b）²+（-k）²，
∴b=

1+k2

2

；
②在Rt△OEF中，EF²=OE²+OF²，
∴EF=

b2+( b k )2

=b

k2+1 k2

，
∵k＜0，
∴EF=-

1+k2

2k

1+k2

，
∵OE=b＜1，OF=-

b

k

＜2，
∴-1＜k＜

3

-2．

点评：此题比较复杂，把折叠的问题放在一次函数的图象的背景中，将代数和几何知识结合起来解题，对学生的要求比较高．